Implicación recíproca

, Author

Esta sección está vacía, insuficientemente detallada o incompleta. ¡Su ayuda es bienvenida! ¿Cómo hacerlo?

Cuando el recíproco de una implicación no es verdadero, a menos que se verifiquen ciertos supuestos adicionales, se puede llamar recíproco parcial.

EjemploModificar

Dejemos que p {\displaystyle p}

p

sea un número primo. La siguiente implicación, demostrada por Euclides, es verdadera: Si el número de Mersenne 2 p – 1 {\displaystyle 2^{p}-1}

2^{p}-1

es primo, entonces el número 2 p – 1 ( 2 p – 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

{displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

es un número perfecto.

Leonhard Euler demostró un recíproco parcial de esta implicación:

Si un número N {\displaystyle N}

N

es un número perfecto y si N {\displaystyle N}

N

es par, entonces N {\displaystyle N}

N

es de la forma 2 p – 1 ( 2 p – 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

{displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

donde p {\displaystyle p}

p

es un número primo y 2 p – 1 {\displaystyle 2^{p}-1}

2^{p}-1

es un número primo de Mersenne.

Como no se sabe si hay números perfectos impares, no está claro si se puede prescindir de la condición de paridad en la recíproca parcial de Euler.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *