Envolvimento recíproco

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Quando a reciprocidade de uma implicação não é verdadeira, a menos que se verifiquem certas suposições adicionais, pode ser chamada uma reciprocidade parcial.

ExampleModify

Let p {\displaystyle p}

p

ser um número primo. A seguinte implicação, provada por Euclides, é verdadeira: Se o número Mersenne 2 p – 1 ^{\p}-1}

2^{\p}-1

é primo, então o número 2 p – 1 ( 2 p – 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

{displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

é um número perfeito.

Leonhard Euler provou ser uma recíproca parcial desta implicação:

Se um número N {\displaystyle N}

N

é um número perfeito e se N {\displaystyle N}

N

é igual, então N {\displaystyle N}

N

é da forma 2 p – 1 ( 2 p – 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

onde p {\displaystyle p}

p

é um número primo e 2 p – 1 ^{\p}-1}

2^{p}-1

é um número primo Mersenne.

Como não se sabe se existem números perfeitos estranhos, não é claro se a condição de paridade na reciprocidade parcial de Euler pode ser dispensada.

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